Секретариат:
+7(495) 782-34-43
Приемная комиссия:
+7(495) 933-26-83
+7(499) 249-20-00
ПОДАТЬ ЗАЯВЛЕНИЕ
НА ПОСТУПЛЕНИЕ
ДЕНЬ ОТКРЫТЫХ ДВЕРЕЙ
x

При заполнении формы регистрации я подтверждаю, что ввожу свои данные добровольно и ознакомился с политикой конфиденциальности и правилами обработки персональных данных

x

Ваше сообщение отправлено.Мы свяжемся с вами в ближайшее время!

Единая линия
для абитуриентов:
8 (800) 555 80 04
Написать письмо
x

При заполнении формы регистрации я подтверждаю, что ввожу свои данные добровольно и ознакомился с политикой конфиденциальности и правилами обработки персональных данных

x

Ваше сообщение отправлено.Мы свяжемся с вами в ближайшее время!


x

При заполнении формы регистрации я подтверждаю, что ввожу свои данные добровольно и ознакомился с политикой конфиденциальности и правилами обработки персональных данных

Математика

Автор: доцент, кандидат психологических наук Савченко Т.Н.

Пояснительная записка

Цель курса - максимально быстрое вхождение слушателей в проблематику математической психологии.

Задачи курса

  • дать знания по основам высшей математики, причем тех разделов и в тех объемах, которые необходимы студентам-психологам.
  • познакомить студентов с конкретными применениями различных разделов высшей математики для анализа и математического моделирования психических явлений и процессов.
  • дать достаточно глубокие знания по теории вероятностей, являющейся основой статистических методов анализа данных, а также основой многих математических моделей психических явлений и процессов.
  • сформировать у студентов положительную мотивацию на использование современных математических и компьютерных методов в фундаментальных прикладных психологических исследованиях;
  • дать знания об основных математических понятиях статистики и их применении для представления и анализа результатов психологического исследования;
  • познакомить с основными современными методами анализа экспериментальных данных;

Знания, полученные в результате освоения данного курса, позволят правильно поставить задачу эмпирического исследования, проанализировать полученные результаты, подтвердить или опровергнуть выдвинутые гипотезы, а также выбрать подходящие методы анализа эмпирических данных и корректно их использовать.

Изучаемые методы необходимы для освоения курсов математические методы в психологических исследованиях, психодиагностики и экспериментальной психологии, а также для выполнения курсовых и дипломных работ.

В результате изучения дисциплины студенты будут

знать:

  • основные понятия и элементы теории множеств;
  • основы теории вероятности;
  • матричный аппарат, решение систем линейных уравнений;
  • векторный анализ;
  • основы функционального анализа;
  • общую схему эмпирического анализа;
  • основные понятия описательной статистики (уровни измерения и соответствующие им меры средней тенденции и разброса показателей вокруг среднего значения);
  • идеи основных статистических процедур, используемых для объяснительного и прогнозного анализа (корреляция и многомерные методы анализа);
  • базовые статистические показатели и сфере их применимости;

уметь:

  • решать задачи по соответствующим разделам высшей математики и статистики;
  • выработать общую линию анализа данных конкретного эмпирического исследования, используя разделы первичной статистики и теории статистического вывода;
  • использовать те статистические показатели, которые можно применить в конкретном  случае;
  • оценить статистическую значимость полученных выводов;

Содержание курса.

Теоретический курс состоит из нескольких разделов, представляющих группы методов первичной статистки, теории статистического вывода, факторного анализа, кластерного анализа, методов многомерного шкалирования, латентно-структурного анализа. Практические занятия— это работа студентов с пакетами прикладных программ и проведение самостоятельных экспериментальных исследований с использованием математических методов анализа данных, а также – решение задач на освоение изучаемых методов.

Раздел I.Введение в теорию множеств

Тема 1.  Математизация науки и статус математических методов в   психологии

Рассказывается о процессе математизации науки и его стилях. На первой стадии применяются математические методы измерения и обработки данных. На второй - строятся математические модели явлений и процессов. На третьей - дается аксиоматическое обоснование содержательных теорий. Приводятся некоторые примеры, которые в дальнейшем курсе будут подробно изучаться. Обуждается связь между стадиями математизации науки и степенью логической строгости ее теорий.

Тема 2. Элементы теории множеств. Понятие множества. Операции над множествами.

Вводится понятие множества, определяются основные операции над множествами (пересечение, объединение, разность, дополнение). Дается   определение счетного множества и рассматриваются примеры счетных множеств.  Доказывается несчетность множества точек отрезка. Определяется понятие  множества мощности континуума.

Тема 3. Алгебра множеств. Двойственные выражения.

Водятся и доказываются  законы алгебры ножеств (законы идемпотенции, дистрибутивности, коммутативности, ассоциативности, теоремы де  Моргана и д.р.), студенты обучаются доказывать верность утверждений с помощью законов алгебры множеств.

Тема 4. Характеристическая функция множества.Нечеткие множества. Понятие о лингвистической переменной

Рассказывается о сравнительно недавно разработанной математиком и инженером Л.А.Заде теории нечетких множеств и основанном на этой теории понятия лингвистической переменной. Сначала рассказывается о методе задания множеств при помощи харатеристической функции, принимающей значение либо нуль, либо единица. затем дается обобщение характеристической функции, так нзываемой функцией принадлежности, принимающей все значения между нулем и единицей.

Затем дается определение нечеткого множества (fuzzy set) Л.А.Заде. И, наконец,  дается определение понятия лингвистической переменной и показ ее применения для точного описания процесса принятия приближенных решений.

Раздел II. Введение в теорию вероятности

Тема 5. Элементы теории вероятностей. Определение вероятности для опыта с конечным числом равновероятных случайных  исходов

Приводится описание  явление статистической устойчивости частот. Дается определение опыта с конечным числом равновероятных случайных исходов, определение элементарного события и случайного события, связанного с данным опытом. Дается классическое определение вероятности. Поле событий, действия над событиями.

Тема  6. Вероятностное пространство

Рассматриваются операции над событиями и дается определение поля событий. Дается определение вероятностного пространства. Рассматриваются примеры дискретного вероятностного пространства и геометрические вероятности.  Геометрические вероятности

Тема  7. Условная вероятность

Теорема умножения. Независимость событий. Дается определение условной вероятности события. Выводится теорема умножения для зависимых событий. Определяется понятие попарной независимости событий. Выводится теорема умножения для независимых событий. Определяется понятие сбытий, независимых в совокупности. Приводится пример трех попарно независимых событий, являющихся в совокупности зависимыми.

Тема 8. Формула полной вероятности. Формула Байеса

Выводятся формула полной зависимости и формула Байеса и решаются задачи на применение этих формул.

Раздел III. Основы линейной алгебры

Тема 9. Матрицы и действия над ними

В лекции дается определение матрицы и действий над ними (сложение матриц, умножение матрицы на число, умножение матриц). Даются определения единичной матрицы

Тема 10. Определители  (детерминанты)

Дается определение детерминантов второго и третьего порядка (через формулу разложения по строке). Поясняется, что данное определение может быть распространено на детерминанты любого порядка. Изучаются свойства детерминантов.

Тема 11. Решение систем линейных уравнений

Правило   Крамера. Решение системы двух уравнений с двумя неизвестными и детерминантом, равным нулю. В лекции рассматриваются вопросы решения систем линейных алгебраических уравнений. Для системы двух уравнений с двумя неизвестными выводится правило Крамера. Рассматривается случай, когда детерминант системы равен нулю и правило Крамера применить нельзя. Дается понятие о линейном преобразовании плоскости.

Тема 12. Векторная алгебра и понятие линейного пространства

В лекции дается определение вектора и действий над векторами (сложение векторов и умножение вектора на число). Определяются понятия коллинеарности и компланарности векторов.

Тема 13. Линейная комбинация  векторов, разложение векторов по базису

Скалярное   и векторное произведения и их свойства. Дается определение линейной комбинации векторов, линейной независимости векторов, а также определение базиса. Выводятся формулы разложения вектора по базису, дается определение координат вектора в базисе.

Далее вводится скалярное произведение векторов, определяется понятие ортогональности векторов и ортонормированного базиса. Выводятся формулы разложения вектора по ортонормированному базису. Наконец, дается определение векторного произведения векторов, для чего сначала вводится понятие правой и левой тройки векторов. Все построения проводятся для случая плоскости или трехмерного пространства.

Тема  14. Собственные значения и собственные векторы матрицы

Вводится определение собственного значения и собственного вектора, Приводятся примеры построения собственных векторов для матриц второго и третьего порядка. Геометрическая интерпретация собственного значения и собственного вектора. Даются определения собственных векторов и собственных значений для матрицы второго порядка.

Раздел IV. Интегрально-дифференциальные вычисления

Тема 15. Теория пределов

Построение вещественных чисел. Данная тема является излагаются теория пределов, дается определение предела последовательности и свойства пределов. Дается определение бесконечно малой последовательности и приводится другое определение предела последовательности. Дается определение бесконечно большой последовательности. В лекции излагается один из возможных подходов к построению вещественных чисел, а именно подход, основанный на принципе Кантора. В лекции дается определение предела функции и обсуждается связь с данным ранее определением предела последовательности.

Тема 16. Дифференциальное исчисление

Определение производной. Непрерывность дифференцируемой функции (степенная функция, тригонометрические  функции). Правила  дифференцирования функций  (производная суммы,  произведения, частного)

В лекции дается определение производной. Доказывается теорема о непрерывности дифференцируемой функции. На основе определения производной доказывается дифференцируемость степенной и тригонометрических функций. Выводятся основные правила дифференцирования функций.

Тема 17. Дифференциал функции

Геометрический смысл  дифференциала, свойства дифференциала. Независимость вида дифференциала от выбора независимой переменной. Дифференциалы  высших порядков. Понятие частной  производной функции нескольких переменных.

В лекции дается определение дифференциала и объясняется его геометрический смысл. Из свойств производной, изученных ранее, выводятся свойства дифференциала. Доказывается важнейшая теорема о независимости вида дифференциала от выбора независимой переменной, используемая в интегральном исчислении. Дается определение дифференциалов высших порядков, а также определение частной производной функции двух переменных. Рассматриваются примеры.

Тема 18. Интегральное исчисление

Определение  первообразной и неопределенного интеграла. Свойства неопределенного интеграла. Табличные интегралы. Методы интегрирования (подстановкой                   по частям)

В лекции дается определение первообразной и неопределенного интеграла как совокупности всех первообразных. Рассматриваются свойства неопределенного интеграла (связь дифференцирования и интегрирования, линейность интеграла). Приводятся табличные интегралы, получающиеся обращением формул дифференцирования элементарных функций. Выводятся формулы для основных методов интегрирования (подстановкой и по частям) . Рассматриваются примеры применения методов интегрирования.

Тема 19. Определенный интеграл

Формула Лейбница-Ньютона. Свойства определенного интеграла. Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Геометрический смысл определенного интеграла

В лекции дается определение определенного интеграла через формулы Лейбница-Ньютона. С помощью этой же формулы устанавливаются основные свойства определенного интеграла, в частности, аддитивность по отрезку интегрирования. Рассматривается определенный интеграл с переменным верхним пределом и доказывается, что производная интеграла по верхнему пределу равна  подинтегральной функции. Объясняется геометрический смысл определенного интеграла, причем считается интуитивно ясным, что такое площадь криволинейной трапеции.

Раздел V.Описательная стаистика

Тема 20. Прикладная статистика как самостоятельная дисциплина. Генеральная совокупность. Выборка

Определение прикладной статистики, основные этапы статистической обработки данных, проверка однородности, статистической независимости. Связь с математической статистикой и теорией вероятности. Принципы группировки информации: качественные и количественные. Генеральная совокупность, выборка. Способы формирования выборки. Графические методы представления информации. График распределения. Гистограммы. Диаграммы и графы.

Способы представления данных. Табулирование данных: ранговый порядок, распределение частот и сгруппированных частот. Функция распределения и эмпирическая функция распределения.

Тема 21.Психологические измерения

Различные определения измерения. Материальные концептуальные шкалы. Приводятся различные классификации типов шкал, которые определяются природой измеряемой величины. Классификация К.Стивенса.

 Рассматривается концепция измерений, основанная на подходе Заде, т.е. используются так называемые «лингвистические» переменные; отношения между переменными описываются с помощью «нечетких» («размытых») высказываний, а сложные отношения описываются нечеткими алгоритмами.

Тема 22. Меры центральной тенденции: мода, медиана, среднее

Определение моды. Использование моды: случаи отсутствия моды в группе, существования двух мод — бимодальности, большие и меньшие моды, наибольшая мода в группе.

Медиана: определение, вычисление для дискретных и непрерывных случайных величин.

Математическое ожидание, среднее: определение, вычисление, свойства. Примеры вычисления медианы, моды, математического ожидания и среднего.

Среднее, медиана и мода объединенных групп. Интерпретация моды, медианы и среднего. Выбор меры центральной тенденции: соображения, которые следует учитывать в процессе выбора, используя медиану, моду и среднее. Другие меры центральной тенденции: среднее, среднее геометрическое, среднее гармоническое, отношение средних и среднее отношение.

Тема 23. Меры изменчивости. Размах. Дисперсия. Стандартное отклонение

Использование для измерения вариаций оценок внутри группы размаха. Определение. Исключающий, включающий полу- и межквартильный размах, размах от 90-го до 10-го процентиля. Дисперсия, вычисление дисперсии. Свойства дисперсии. Теорема о дисперсии. Стандартное отклонение. Среднее отклонение. Стандартизирование данных. Асимметрия. Эксцесс.

Тема 24. Ковариация, коэффициент корреляции

Вводятся понятия ковариации и коэффициента корреляции. Свойства коэффициента корреляции. Четыре типа шкал, их примеры. Измерение в дихотомических шкалах наименований, в шкалах порядка, в шкалах интервалов или отношений.

Тема 25. Конкретные примеры корреляционных взаимосвязей

Выводятся мера связи для переменных, измеренных в шкалах интервалов и отношений – коэффициент корреляции Пирсона, для переменных, измеренных в шкалах порядка –коэффициент ранговой корреляции Спирмена, для дихотомических переменных – коэффициент Гилфорда. Бисериальный коэффициент корреляции. Интерпретация. Случай связанных рангов. Коэффициент тау Кендалла. Бисериальная ранговая корреляция. Множественная корреляция.

Раздел VI .Теория статистического вывода

Тема 26. Нормальное распределение

Закон нормального распределения, функция плотности вероятности. Свойства функции плотности вероятности. Единичное нормальной распределение. Стандартизация данных. Закон больших чисел.

Нормальное распределение в психологических исследованиях и теории тестов.

Тема 27. Распределения на основе нормального: хи-квадрат, Фишера, Стьюдента

Распределение хи-квадрат и его свойства, связь с нормальным распределением. Распределение Фишера и его свойства. Распределение Стьюдента, его свойства. Связь распределний Фишера и Стьюдента.

Тема 28.  Стастистический вывод: проверка гипотез

 Два способа оценки параметров: точечный и интервальный. Рассматриваются различные методы: методы моментов, метод максимального правдоподобия.

Доверительный интервал, его свойства, интервальные оценки дисперсии в малой выборке. Рассматриваются методы построения интервальных оценок или доверительных интервалов для неизвестных параметров. Доверительный интервал для математического ожидания. Метод приближенного построения доверительных интервалов в случаях, когда число наблюдений велико. Примеры построения доверительных интервалов.

Принципы проверки статистических гипотез и принятие решений. Научная и статистическая гипотезы. Описание гипотез. Этапы проверки, метод Неймана—Пирсона. Сущность проверки гипотезы: формулирование правил принятия решений и оценка вероятностей того, что они приведут нас к ошибочным результатам. Ошибка первого рода. Уровень значимости. Ошибка второго рода, мощность. Критерии проверки статистических гипотез. Проверка соответствия наблюдаемых выборочных значений и предполагаемых закономерностей распределения случайной величины.

Тема 29. Некоторые параметрические методы вывода статистических гипотез

Представлены выводы наиболее распространенных статистик. Освещена методика проверки значимости статистик и построения доверительных интервалов во всех возможных случаях. Единая схема обсуждения свойств вывода любой статистики. Рассмотрена по этой схеме проверка гипотез о параметрах распределения: критерии проверки значимости различия  средних значений и дисперсий двух нормально распределенных случайных величин для связанных и несвязанных выборок, критерии оценки значимости отличия коэффициента корреляции от нуля и др.

Тема 30. Некоторые непараметрические критерии и критерии для частных задач

В темах приводятся критерии сравнения двух эмпирических распределений и эмпирического распределения с теоретическим: критерий Пирсона, критерий Колмогорова-Смирнова. Критерии выявления различий между двумя выборками по уровню признака: Розенбаума, Манна-Уитни. Критерии оценки достоверности сдвига: критерий знаков, критерий Вилкоксона.

Раздел VII .Модели дисперсионного анализа

Тема 31. Элементы дисперсионного анализа

Структура данных, модель данных. Пять этапов ­ANOVA. Суть метода дисперсионного анализа. Теоретическо-вероятностная схема, лежащая в основе однофакторного анализа. Подробно разбирается метод дисперсионного анализа. Рассматривается классический параметрический вариант ANOVA.

Тема 32. Непараметрические аналоги ANOVA

Непараметрические аналоги однофакторного дисперсионного анализа: метод Краскала-Уоллиса, метод Фридмана. Двухфакторный дисперсионный анализ.